Calcul de réponse fréquentielle de filtre FIR par FFT

La réponse fréquentielle d'un filtre à réponse impulsionnelle finie peut être calculée efficacement comme une transformée de Fourier rapide (FFT). Sans perte de généralité, on considère le cas d'un filtre RIF causal, de réponse impulsionnelle $h[n]$ de support $[0,N-1]$. Avec le vecteur ${\mathbf{h}}^N=(h[0],\dots ,h[N-1])$ contenant les coefficients non nuls de la réponse impulsionnelle, la transformée de Fourier discrète ${\mathbf{H}}^N$ de ${\mathbf{h}}^N$ contient des échantillons de la réponse fréquentielle du filtre : $${\mathbf{H}}_k^N=H\left(\frac{k}{N}\right)\text{ pour }0\le k<N.$$

L'échantillonnage de la réponse fréquentielle étant trop grossier pour un bon tracé de la réponse fréquentielle, on utilise la technique de zero-padding, qui consiste à calculer la DFT du vecteur ${\mathbf{h}}^L=(h[0],\dots ,h[N-1],0,\dots ,0)$ de taille $L>N$. On a alors un échantillonage plus fin : $${\mathbf{H}}_k^L=H\left(\frac{k}{L}\right)\text{ pour }0\le k<L.$$

Le graphe peut ensuite être recentré autour de l'origine pour mettre en valeur la symétrie de la TFTD d'un signal réel : $H(-\nu )=H(\nu {)}^{\star }$.

Zero-padding:

FFt shift: