La convolution circulaire \( \mathbf{z} = \mathbf{x} \circledast \mathbf{y} \) entre deux vecteurs \(\mathbf{x}\) et \(\mathbf{y}\) de \(\mathbf{C}^N\) est définie par : \[z_n = \sum_{k=0}^{N-1} x_{(k - n\ \mathrm{mod. } N)} y_k\] pour \( 0 \leq n < N\).
On reconnaît l'écriture d'un produit d'une matrice circulante et d'un vecteur. Par exemple pour \(N = 4\) : \[ \left( \begin{array}{c} z_0 \\ z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_{3} & x_2 & x_1 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & x_1 & x_0 & x_3 \\ x_3 & x_2 & x_1 & x_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right) \] ou de façon équivalente, par commutatitivé de la convolution, \[ \left( \begin{array}{c} z_0 \\ z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} y_0 & y_{3} & y_2 & y_1 \\ y_1 & y_0 & y_3 & y_2 \\ y_2 & y_1 & y_0 & y_3 \\ y_3 & y_2 & y_1 & y_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \]
Conséquence : les coefficients en queue des signaux d'entrée influent sur les coefficients en tête de la sortie.